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\chapter{Variables Aleatorias Discretas}

\section{Fundamentos teóricos}
\subsection{Variables Aleatorias}
Se define una \emph{variable aleatoria} asignando a cada resultado del experimento aleatorio un número. Esta asignación puede realizarse de distintas maneras, obteniéndose de esta forma diferentes variables aleatorias. Así, en el lanzamiento de dos monedas podemos considerar el número de caras o el número de cruces. En general, si los resultados del experimento son numéricos, se tomarán dichos números como los valores de la variable, y si los resultados son cualitativos, se hará corresponder a cada modalidad un número arbitrariamente.

Formalmente, una \emph{variable aleatoria} $X$ es una función real definida sobre los puntos del espacio muestral $E$ de un experimento aleatorio. \[ X:E\rightarrow \mathbb{R}\]

De esta manera, la distribución de probabilidad del espacio muestral $E$, se transforma en una distribución de probabilidad para los valores de $X$.

El conjunto formado por todos los valores distintos que puede tomar la variable aleatoria se llama \emph{Rango} o \emph{Recorrido} de la misma.

Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas o continuas. Una variable es \emph{discreta} cuando sólo puede tomar valores aislados, mientras que es \emph{continua} si puede tomar todos los valores posibles de un intervalo.

\subsection{Variables Aleatorias Discretas (v.a.d.)}
Se considera una v.a.d. $X$ que puede tomar los valores $x_i$, $i=1,2,...,n$.

\subsubsection{Función de probabilidad}
La \emph{distribución de probabilidad} de $X$ se suele caracterizar mediante una función $f(x)$, conocida como \emph{función de probabilidad}, que asigna a cada valor de la variable su probabilidad. Esto es
\[f(x_i)=P(X=x_i),\ i=1,..,n\]
verificándose que
\[\sum_{i=1}^{n} f(x_i)=1\]

\subsubsection{Función de distribución}
Otra forma equivalente de caracterizar la distribución de probabilidad de $X$ es mediante otra función $F(x)$, llamada \emph{función de distribución}, que asigna a cada $x\in \mathbb{R}$ la probabilidad de que $X$ tome un valor menor o igual que dicho número $x$. Así,

\[
F(x) = P(X \le x) = \sum\limits_{x_i  \le x} {f(x_i)}
\]

Tanto la función de probabilidad como la función de distribución pueden representarse de forma gráfica, tal y como se muestra en la figura \ref{g:graficasvad}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función de probabilidad.]{
\scalebox{0.6}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_lanzamiento_2_monedas}}}\qquad
\subfigure[Función de distribución.]{
\scalebox{0.6}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_distribucion_lanzamiento_2_monedas}}}
\caption{Función de probabilidad y función de distribución de la variable aleatoria $X$ que mide el número de caras obtenido en el lanzamiento de dos monedas.} \label{g:graficasvad}
\end{figure}

\subsubsection{Estadísticos poblacionales}
Los parámetros descriptivos más importantes de una v.a.d. $X$ son:
\begin{description}
\item [Media o Esperanza]
\[
E[X]=\mu  = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i f(x_i )}
\]

\item [Varianza]
\[
V[X]=\sigma ^2  = \sum\limits_{i = 1}^n {(x_i  - \mu )^2 f(x_i ) = }
\sum\limits_{i = 1}^n {x_i ^2 f(x_i ) - \mu ^2 }
\]

\item [Desviación típica]
\[
D[X]=\sigma  =  + \sqrt {\sigma ^2 }
\]
\end{description}

La media es una medida de tendencia central, mientras que la
varianza y la desviación típica son medidas de dispersión.

Entre las v.a.d. cabe destacar las denominadas \emph{Binomial} y de \emph{Poisson}.

\subsubsection{Variable Binomial}

Se considera un experimento aleatorio en el que puede ocurrir el suceso $A$ o su contrario $\overline{A}$,
con probabilidades $p$ y $1-p$ respectivamente.

Si se realiza el experimento anterior $n$ veces, la v.a.d. $X$ que
recoge el número de veces que ha ocurrido el suceso $A$, se denomina
\emph{Variable Binomial} y se designa por $X\sim B(n,\ p)$.

El recorrido de la variable $X$ es $\{0,1,...,n\}$ y su función de
probabilidad viene dada por
\[
f(x)= \binom{n}{x} p^x  \left( {1 - p} \right)^{n - x}
\]
cuya gráfica se puede apreciar en la figura~\ref{g:binomial}.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_binomial}} 
  \caption{Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial de 10 repeticiones y probabilidad de éxito 0.5}\label{g:binomial}
\end{figure}

A partir de la expresión anterior se puede demostrar que
\begin{align*}
\mu  &= n p\\
\sigma ^2  &= n p (1 - p)\\
\sigma  &=  + \sqrt {n p (1 - p)}
\end{align*}

En el caso particular de que el experimento se realice una sola vez,
la variable aleatoria recibe el nombre de \variable{Variable de
Bernouilli}. Una variable Binomial $X\sim B(n,\ p)$ se puede
considerar como suma de $n$ variables de Bernouilli idénticas con
distribución $B(1,\ p)$.

\subsubsection{Variable de Poisson}

Las variables de Poisson surgen de la observación de un conjunto discreto de fenómenos puntuales en un soporte continuo de tiempo, longitud o espacio. Por ejemplo: nº de llamadas que llegan a una centralita telefónica en un tiempo establecido, nº de hematíes en un volumen de sangre, etc. Se supone además que en un soporte continuo suficientemente grande, el número medio de fenómenos ocurridos por unidad de soporte considerado, es una constante que designaremos por $\lambda$.

A la v.a.d. $X$, que recoge el número de fenómenos puntuales que ocurren en un intervalo de amplitud establecida, se le denomina \emph{Variable de Poisson} y se designa por $X\sim P(\lambda)$.

El recorrido de la variable $X$ es $\{0,1,2,...\}$, no existiendo un
valor máximo que pueda alcanzar. Su función de probabilidad viene
dada por
\[
f(x) = \frac{{\lambda ^x }}{{x!}}\  e^{ - \lambda }
\]
y su gráfica aparece en la figura~\ref{g:poisson}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_poisson}} 
  \caption{Función de probabilidad de una variable aleatoria Poisson de media $\lambda=4$}\label{g:poisson}
\end{figure}

Se puede demostrar que
\begin{align*}
\mu  &= \lambda\\
\sigma ^2  &= \lambda\\
\sigma  &=  + \sqrt {\lambda}
\end{align*}

La distribución de Poisson aparece como límite de la distribución
Binomial cuando el número $n$ de repeticiones del experimento es muy
grande y la probabilidad $p$ de que ocurra el suceso $A$ considerado
es muy pequeña. Por ello, la distribución de Poisson se llama
también \emph{Ley de los Casos Raros}. En la práctica se considera
aceptable realizar los cálculos de probabilidades correspondientes a
una variable $B(n,\ p)$ mediante las fórmulas correspondientes a una
variable $P(\lambda)$ con $\lambda=n p$, siempre que $n\geq 50$
y $p<0.1$.

\clearpage
\newpage


\section{Ejercicios Prácticos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Dada la v.a.d. con distribución Binomial $X\sim B(10,\ 0.5)$ se pide:

\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de probabilidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{Binomial} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} y activar la casilla \opcion{Resumen del Análisis}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir el valor de $n$ de la Binomial en el campo \texttt{Ensayos} y el valor de $p$ en el
campo \texttt{Probabilidad de Evento}.
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficas} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución:
\begin{enumerate}
\item $P(X=7)$

\item $P(X\leq 4)$

\item $P(X>5)$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas} y
activar la casilla \texttt{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en el
campo \texttt{Variable Aleatoria}.  En nuestro caso se
introducen $7$, $4$ y $5$. El resultado correspondiente al apartado
$1)$ se obtiene en \texttt{Probabilidad de Masa}, el del apartado
$3)$ en \texttt{Area Cola Superior} y el del apartado $2)$
sumando los resultados correspondientes a $4$ en \texttt{Area Cola Inferior} y en \texttt{Probabilidad de Masa}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con la v.a.d. $X\sim B(40,\ 0.1)$.

\item Dada la v.a.d. con distribución de Poisson $X\sim P(4)$ se pide:
\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de probabilidad y compararla con la del ejercicio anterior. ¿A qué es debida esta similitud?
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{Poisson} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} y activar la casilla \opcion{Resumen del Análisis}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir el valor de $\lambda$ de la distribución de Poisson en el campo \texttt{Media}.
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficas} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\item La gráfica obtenida es bastante similar a la del ejercicio
anterior. Ello es debido a que cuando $n$ es grande y $p$ pequeña,
una distribución Binomial $B(n,\ p)$ se puede aproximar mediante una
distribución de Poisson $P(\lambda)$ con $\lambda = n p$. En nuestro
caso $n=40$ y $p=0,1$ con lo que $\lambda=4$. Aunque $n$ es algo
menor que $50$, se observa que las gráficas son bastante similares.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\item Calcular las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución:
\begin{enumerate}

\item $P(X=7)$

\item $P(X\leq 4)$

\item $P(X>5)$
\end{enumerate}
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas}
y activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en
el campo \texttt{Variable Aleatoria}. En nuestro caso se
introducen $7$, $4$ y $5$. El resultado correspondiente al apartado
$1)$ se obtiene en \texttt{Probabilidad de Masa}, el del apartado
$3)$ en \texttt{Area Cola Superior} y el del apartado $2)$
sumando los resultados correspondientes a $4$ en \texttt{Area Cola Inferior} y en \texttt{Probabilidad de Masa}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con la v.a.d. $X\sim P(7.5)$.
\end{enumerate}

\section{Problemas}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]

\item La probabilidad de curación de un paciente al ser sometido a un determinado tratamiento es $0.85$.
Calcular la probabilidad de que en un grupo de 6 enfermos sometidos a tratamiento:
\begin{enumerate}

\item se curen la mitad.

\item se curen al menos 4.
\end{enumerate}

\item Al lanzar 100 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener entre 40 y 60 caras?

\item La probabilidad de que al administrar una vacuna dé una determinada reacción es $0.001$. Si se
vacunan 2000 personas ¿cuál es la probabilidad de que aparezca alguna reacción adversa?

\item El número medio de llamadas por minuto que llegan a una centralita telefónica es igual a 120.
Hallar las probabilidades de los sucesos siguientes:
\begin{enumerate}

\item $A$=durante 2 segundos lleguen a la centralita menos de 4 llamadas.

\item $B$=durante 3 segundos lleguen a la centralita 3 llamadas como mínimo.

\end{enumerate}
\end{enumerate}








